Una función puede tener
inversa, es decir, otra función que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su
inverso da 1.
Dada una función f : A → B, se dice que g : B → A es la inversa o recíproca de f si se cumple:
La inversa se denota por g = f−1, y tanto f como f−1 se dicen invertibles.
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No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:
Toda función biyectiva f es invertible, y su inversa f−1 es biyectiva a su vez. Recíprocamente, toda función invertible f es biyectiva.
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La notación para funciones inversas puede ser confusa. Para un elemento del codominio
b,
f−1(
b) puede denotar tanto la anti-imagen de
b (un subconjunto del dominio), como a la imagen de
b por la función inversa de
f (un elemento del dominio), en el caso de que
f sea invertible.
- Ejemplos.
- La función «exponencial» h : R → R, que asocia a cada número real su exponencial, h(x) = ex, no es invertible, ya que no es suprayectiva: ningún número negativo pertenece a la imagen de h.
- Existe una función que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso del cambio de rupias a quetzales (las monedas de la India y Guatemala), la conversión está dada (en 2011) por:
Q(r) = 0,15 × r
Esta función de cambio tiene inversa, la conversión recíproca de quetzales a rupias:
R(q) = 6,65 × q
- La función cubo f(x) = x3 es invertible, ya que podemos definir la función inversa mediante la raíz cúbica, f−1(x) = 3√x.
- La función de clasificación en géneros γ : M → G no es invertible, ya que no es inyectiva, y para cada género pueden existir varios mamíferos clasificados en él.
- La función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por
inversa la función que asigna a cada día de la semana su antecesor:
- Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Lunes
.
Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda
condición de la definición de función, se puede definir una función que
se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario,
se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a
inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio
seleccionado se llama el dominio natural, de la función.
